讓學生懂得「無答案」

讓學生懂得「無答案」

『不過亦有自稱小學老師的人認為題目過份,不但不能考核學生,更「愚弄認真作答嘅學生,扼殺他們對學習數學嘅興趣」。』

雖然我經常戲謔小孩聽不懂人話,但我其實覺得他們的腦袋應該容得下「無答案」這概念。這問題並非愚弄學生,也不會扼殺他們的興趣。反而適當地誘導的話,這是個很好的機會去探索數學。

數學世界裡,「The solution does not exist」也是答案來的。「無答案」也可以是答案。可是香港大多數學生要到中四才首次接觸到「No solution」(嚴格來說是 No REAL solution)這樣的概念。

然而,「無答案」和「為什麼無答案」其實在數學史上是極其重要的問題。例如

1)如果 n 是 3 或以上的正整數,那麼 x^n + y^n = z^n 的正整數解 (x,y,z) 如何求得?

2)二次方式有公式解(x = (-b±root Δ)/2a),三次和四次方程也已經有類似的公式解。那麼五次或以上的方程呢?

對於數學知識比大多數高中生豐富的人,很可能已經聽過這兩個問題。答案分別是

1)無法求得,因為沒有解(費馬最後定理)
2)沒有公式或特定算法去解(伽萊瓦理論)

兩個問題也是沒有答案,那為什麼說它們很重要?因為證明它們為什麼沒解的過程開發了不少新的數學理論。

例如第一個問題是費馬在 1637 年指出,他猜想該種方程無解(他自稱想到證明,但並無寫下就逝世了),卻到 1995 年才被成功證明。

這 358 年漫長歲月裡,為證明該式子無解時,數學家們在數論、代數幾何、抽象代數裡發現了大量的定理,而最後它更把模形式和橢圓曲線兩個風馬牛不相及的數學分支扯上關係。

圖片來源: http://developer.hanluninfo.com:8088/2005/hkcee/math/chapter04/chapter16/images/formula/formula_04_16_03_08.gif

圖片來源: http://developer.hanluninfo.com:8088/2005/hkcee/math/chapter04/chapter16/images/formula/formula_04_16_03_08.gif

哥尼斯堡七橋問題問的是能否在不重覆的情況下走遍七條橋。答案也是不行。

而證明為什麼它不行小學神級數學題 題目都睇唔明?的過程中,整個「圖論」就發展出來了。圖論可以用來協助解決四色問題(在無飛地的地圖中,只需要四種顏色就能塗滿一幅地圖使得每對相鄰國家不同色),也能協助證明 V+F-E=2 (Euler’s formula),又可以用來把人際關係等問題抽像化來研究……

讓學生懂得「無答案」不是愚弄他們,也不是教他們用「無答案」來亂答題。反而在探究為什麼無答案的過程中,他們更能穩固地掌握相關的數學概念,也是磨煉思考能力的好機會。至少認為數學只不過是一大串白痴運算的人會越來越少……

 

延伸閱讀:小學神級數學題 題目都睇唔明?


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